Как найти наклонную асимптоту

Содержание

Асимптоты графиков функций

Справочник по математике

Элементы математического анализа

Функции

Во многих разделах нашего справочника приведены графики различных функций. Для многих функций существуют прямые, к которым графики функций неограниченно приближаются. Такие прямые называют асимптотами, и их точное определение мы дадим чуть позже.

Как мы увидим далее, асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными. С вертикальными и горизонтальными асимптотами графика функции мы уже встречались, в частности, в разделе «Гипербола на координатной плоскости. График дробно-линейной функции». С наклонными асимптотами, за исключением горизонтальных, мы пока еще дела не имели.

Определение 1. Говорят, что x стремится к x0 слева и обозначают

x → x0 – 0 ,

если x стремится к x0 и x меньше x0 .

Говорят, что x стремится к x0 справа и обозначают

x → x0 + 0 ,

если x стремится к x0 и x больше x0 .

Определение 2. Прямую

x = c

называют вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к с справа, если функция y = f (x) определена на некотором интервале (с, d) и выполнено соотношение выполнено соотношение

при x → c + 0

Прямую

x = с

называют вертикальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к с слева, если функция y = f (x) определена на некотором интервале (d, c) и выполнено соотношение выполнено соотношение

при x → c – 0

Пример 1. Прямая

x = 2

является вертикальной асимптотой графика функции

как справа, так и слева (рис. 1)

Рис.1

Пример 2. Прямая

x = 0

является вертикальной асимптотой графика функции

y = ln x

при x , стремящемся к 0 справа (рис. 2)

Рис.2

Наклонные асимптоты

Определение 3. Прямую

y = kx + b

называют наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

Прямую

y = kx + b

Горизонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот

Определение 4. Прямую

y = b

называют горизотальной асимптотой графика функции y = f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

Прямую

y = b

называют горизотальной асимптотой графика функции y f (x) при x , стремящемся к , если функция y = f (x) определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

Замечание. Из определений 3 и 5 вытекает, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты y = kx + b, когда угловой коэффициент прямой k = 0 .

Пример 3. Прямая

y = 3

является горизонтальной асимптотой графика функции

как при x , стремящемся к , так и при x , стремящемся к (рис. 3)

Рис.3

Пример 4. Прямая

y = 0

является горизонтальной асимптотой графика функции

y = 2x

при x , стремящемся к (рис. 4)

Рис.4

Пример 5. График функции y = arctg x (рис.5)

Рис.5

имеет две горизонтальные асимптоты: прямая

является горизонтальной асимптотой графика функции при , а прямая

является горизонтальной асимптотой графика функции при .

Поиск наклонных асимптот графиков функций

Для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции y = f (x) при (или убедиться, что наклонной асимптоты при не существует), нужно совершить 2 операции.

Первая операция. Вычислим предел предел

(1)

Если предел (1) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.

Если предел (1) существует и равен некоторому числу предел (1) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой k ,

переходим ко второй операции.

Вторая операция. Вычислим предел предел

(2)

Если предел (2) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.

Если предел (2) существует и равен некоторому числу предел (2) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой b ,

делаем вывод о том, что прямая

y = kx + b

является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при .

Совершенно аналогично поступаем для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции y = f (x) при (или убедиться, что наклонной асимптоты при не существует).

Первая операция. Вычислим предел предел

(3)

Если предел (3) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.

Если предел (3) существует и равен некоторому числу предел (3) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой k ,

переходим ко второй операции.

Вторая операция. Вычислим предел предел

(4)

Если предел (4) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции y = f (x) при наклонных асимптот нет.

Если предел (4) существует и равен некоторому числу предел (4) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой b ,

делаем вывод о том, что прямая

y = kx + b

является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при .

Пример 5. Найти асимптоты графика функции

(5)

и построить график этой функции.

Решение. Функция (5) определена для всех и вертикальных асимптот не имеет.

Найдем наклонные асимптоты графика функции (5). При получаем

Отсюда вытекает, что прямая

y = x

– наклонная асимптота графика функции (5) при .

При получаем

Отсюда вытекает, что прямая

y = – x

– наклонная асимптота графика функции (5) при .

Функция (5) является четной функцией, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат.

Найдем производную функции (5):

Итак, y' > 0 при x > 0 , y'

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/matan/asymptote.htm

Асимптоты графика функции

Как найти наклонную асимптоту

Часто задание на нахождение асимптот функции встречается в курсе математического анализа, в частности при решении задач на тему исследования функции.

Для того, чтобы успешно ответить на вопрос: как найти асимптоты функции? необходимо уметь вычислять пределы, понимать что они собой представляют, знать основные методы решения пределов. Если всё это вы умеете на должном уровне, тогда найти асимптоты для вас не будет проблемой.

Итак, что такое асимптота? Асимптота это линия, к которой бесконечно приближается ветвь графика функции. Чтобы было наглядно, посмотрите на изображения представленные ниже.

Обратите внимание, что соприкосновения между асимптотой и графиками нет, и не должно быть. Асимптота бесконечно приближается к графику функции. Давайте рассмотрим какие виды асимптоты функции бывают и как их находить, но о последнем будет рассказано далее.

Из таблицы узнаем, что асимптоты у функции бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные, наклонные. Каждую найти асимптоту функции нужно по своему. Для этого нужны лимиты. Сколько бывает асимптот всего у функции? Ответ: ни одной, одна, две, три… и бесконечно много. У каждой функции по разному.

Вертикальные асимптоты

Чтобы найти данный вид асимптот необходимо найти область определения заданной функции и отметить точки разрыва. В этих точках предел функции будет равен бесконечности, а это значит, что функция в этой точке бесконечно приближается к линии асимптоты.

Горизонтальные асимптоты

Необходимо устремить аргумент лимита функции к бесконечности. Если предел существует и равен числу, то горизонтальная асимптота будет найдена и равна $ y=y_0 $ как показано во втором столбце таблицы

Примеры решений

Пример 1

Найти все асимптоты графика функции $$ f(x) = \frac{5x}{3x+2} $$

Решение

Для начала решения найдем вертикальные асимптоты, но прежде найдем область определения функции $ f(x) $. По определению знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому имеем, $ 3x+2 eq 0; 3x eq -2; x eq -\frac{2}{3} $. Получили точку разрыва $ x = -\frac{2}{3} $. Вычислим в ней предел функции и убедимся окончательно, что вертикальная асимптота это $ x = -\frac{2}{3} $.$$ \lim\limits_{{x \rightarrow -\frac{2}{3}}} \frac{5x}{3x+2} = (-\frac{10}{\infty}) = -\infty $$.Теперь найдем горизонтальные асимптоты, но прежде рассчитаем коэффициенты $ k $ и $ b $.$$ k = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5}{3x+2}=\frac{5}{\infty}=0 $$Так как $ k = 0 $, то мы уже понимаем то, что наклонных асимптот нет, а есть горизонтальные. Найдем теперь коэффициент $ b $.$$ b = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} [f(x)-kx] = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5x}{3x+2} = \frac{\infty}{\infty} =\frac{5}{3} $$Подставляем найденные коэффициенты в формулу $ y = kx + b $, получаем, что $ y = \frac{5}{3} $ – горизонтальная асимптота.Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y = \frac{5}{3} $$

Пример 2

Найти все асимптоты графика функции $ f(x) = \frac{1}{1-x} $

Решение

Найдем область определения данного примера, чтобы определить вертикальные асимптоты. $ 1-x eq 0; x eq 1; $. Точка разрыва $ x = 1 $, а это значит что это и есть вертикальная асимптота. Найдем для доказательства предположения предел в этой точке. $$ \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{1}{1-x} = \frac{1}{0} = \infty $$Приступим к поиску наклонных асимптот.$$ k = \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{x(1-x)} = \frac{1}{\infty}=0 $$$$ b =\lim\limits_{x \rightarrow \infty}[f(x)-kx]=\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{1-x} = \frac{1}{\infty}=0 $$Итого, $ y=0 $ – горизонтальная асимптота.

Ответ

$$ y=0 $$

Пример 3

Найти все асимптоты графика функции $ f(x) = \frac{x3}{3×2+5} $

Решение

Замечаем, что знаменатель не обращается в ноль при любом значении икса. А это значит, что нет точек разрыва и следовательно нет вертикальных асимптот. Остается найти горизонтальные асимптоты.$$ k = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{x2}{3×2+5} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{6x} = \frac{1}{3} $$Так как $ k $ конечное число, не равное $ 0 $ или бесконечности, то существует наклонная асимптота. Вычислим недостающее число $ b $.$$ b =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} [f(x)-kx] =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} [\frac{x3}{3×2+5}-\frac{x}{3}] =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} -\frac{5x}{3(3×2+5)}= $$ $$ = -\frac{5}{3}\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{3×2+5} =-\frac{5}{3}\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{6x} =-\frac{5}{3}\frac{1}{\infty} = 0 $$$ y =\frac{1}{3}x $ – наклонная асимптота к функции с углом наклона одна третья.

Ответ

$$ y =\frac{1}{3}x $$

Пример 4

Найти асимптоты $ f(x) = xe{-x} $

Решение

Нет точек разрыва, а это значит, нет вертикальных асимптот.$$ k=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{ex} = \frac{1}{\infty} = 0 $$$$ b=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{ex} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{ex} = \frac{1}{\infty} = 0 $$$ y = 0 $ – горизонтальная асимптота

Ответ

$$ y = 0 $$

Если в задачах даются элементарные функции, то заранее известно сколько и есть ли асимптоты. Например, у параболы, кубической параболы, синусоиды вообще нет никаких. У графиков функций таких как логарифмическая или экспоненциальная есть по одной. А у функций тангенса и котангенса бесчисленное множество асимптот, но арктангенс и арккатангенс имеет по две штуки.

Во всех приведенных примерах пределы вычислялись с помощью правило Лопиталя, которое очень ускоряет процесс вычисления и создает меньше ошибок.

Нужно подробное решение своей задачи?

ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ

Источник: https://xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai/kak-najti-asimptoty-funkcii.html

Как найти наклонную асимптоту | Сделай все сам

Как найти наклонную асимптоту

Асимптота функции — линия, к которой безгранично приближается график этой функции. В широком смысле асимптотическая линия может быть и криволинейной, впрочем почаще каждого этим словом обозначают прямые линии.

Инструкция

1. Если заданная функция имеет асимптоты, то они могут быть вертикальными либо наклонными. Существуют также горизонтальные асимптоты, являющиеся частным случаем наклонных.

2. Представим, что вам дана функция f(x).

Если она не определена в некоторой точке x0 и по мере приближения x к x0 слева либо справа f(x) тяготится к бесконечности, то в этой точке функция имеет вертикальную асимптоту.

Скажем, в точке x = 0 лишаются смысла функции 1/x и ln(x). Если x ? 0, то 1/x ? ?, а ln(x) ? -?. Следственно, обе функции в этой точке имеют вертикальную асимптоту.

3. Наклонная асимптота — прямая, к которой безгранично тяготится график функции f(x) по мере того, как x безгранично повышается либо убывает.

Функция может иметь и вертикальные, и наклонные асимптоты.В утилитарных целях различают наклонные асимптоты при x ? ? и при x ? -?.

В ряде случаев функция может тяготиться к одной и той же асимптоте в обе стороны, но, вообще говоря, они не обязаны совпадать.

4. Асимптота, как и любая наклонная прямая, имеет уравнение вида y = kx + b, где k и b — константы.Прямая будет наклонной асимптотой функции при x ? ?, если по мере тяготения x к бесконечности разность f(x) – (kx+b) тяготится к нулю. Подобно, если эта разность тяготится к нулю при x ? -?, то прямая kx + b будет наклонной асимптотой функции в этом направлении.

5. Дабы осознать, имеет ли заданная функция наклонную асимптоту, и если имеет — обнаружить ее уравнение, необходимо вычислить константы k и b. Способ вычисления не меняется от того, в каком направлении вы ищете асимптоту.

Константа k, также называемая угловым показателем наклонной асимптоты, является пределом отношения f(x)/x при x ? ?.Скажем, путь задана функция f(x) = 1/x + x. Отношение f(x)/x будет в этом случае равно 1 + 1/(x2). Его предел при x ? ? равен 1. Следственно, заданная функция имеет наклонную асимптоту с угловым показателем 1.

Если показатель k получается нулевым, это значит, что наклонная асимптота заданной функции горизонтальна, и ее уравнение y = b.

6. Дабы обнаружить константу b, то есть смещение необходимой нам прямой, потребуется вычислить предел разности f(x) – kx. В нашем случае эта разность равна (1/x + x) – x = 1/x. При x ? ? предел 1/x равен нулю. Таким образом, b = 0.

7. Окончательный итог состоит в том, что функция 1/x + x имеет наклонную асимптоту в направлении плюс бесконечности, уравнение которой y = x. Тем же методом легко подтвердить, что эта же прямая является наклонной асимптотой заданной функции и в направлении минус бесконечности.

Совет 2: Как находить асимптоты

Асимптотой графика функции у=f(x) именуется прямая, график которой безгранично прибли-жается к графику функции при неограниченном удалении произвольной точки M (x,y), принадлежащей f(x) на бесконечность (позитивную либо негативную), никогда не пересекая график функции. Удаление точки на бесконечность подразумевает под собой и случай, когда к бесконечности тяготится только ордината либо абсцисса у=f(x). Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Вам понадобится

– бумага;
– ручка;
– линейка.

Совет 3: Как обнаружить горизонтальную асимптоту

Что такое асимптота? Это такая прямая, к которой приближается график функции, но не пересекает её. Горизонтальная асимптота выражается уравнением y=A, где A – некоторое число. Геометрически горизонтальная асимптота изображается прямой, параллельной оси Ox и пересекающей ось Oy в точке A.

Совет 4: Как обнаружить асимптоты графика функции

Асимптоты – это прямые, к которым безгранично приближается кривая графика функции при тяготении довода функции к бесконечности. Раньше чем приступить к построению графика функции, надобно обнаружить все вертикальные и наклонные (горизонтальные) асимптоты, если они существуют.

Совет 5: Как обнаружить асимптоты функции

Полное изыскание функции и построение ее графика полагают целый спектр действий, включая нахождение асимптот, которые бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Совет 6: Как обнаружить вертикальную асимптоту

Что представляет собой вертикальная асимптота? Данный вопрос следует узнать раньше, чем вы приступите к проведению расчетов. Все расчеты выполняются по определенным формулам. Немного кто предполагает процесс нахождения асимптот интересным занятием, впрочем, если вы постигаете математический обзор, искать вертикальную асимптоту вам животрепещуще нужно.

Вам понадобится

Лист бумаги, ручка, калькулятор.

Асимптоты графика функций: их виды, примеры решений

Как найти наклонную асимптоту

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие асимптоты

Если предварительно построить асимптоты кривой, то многих случаях построение графика функции облегчается.

Судьба асимптоты полна трагизма. Представьте себе, каково это: всю жизнь двигаться по прямой к заветной цели, подойти к ней максимально близко, но так и не достигнуть её.

Например, стремиться соединить свой жизненный путь с путём желанного человека, в какой-то момент приблизиться к нему почти вплотную, но даже не коснуться его. Или стремиться заработать миллиард, но до достижения этой цели и записи в книгу рекордов Гиннеса для своего случая не достаёт сотых долей цента. И тому подобное.

Так и с асимптотой: она постоянно стремится достигнуть кривой графика функции, приближается к нему на минимальное возможное расстояние, но так и не касается его.

Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус бесконечности.

Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Первое, что нужно узнать о вертикальных асимптотах: они параллельны оси Oy.

Определение. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции, если точка x = a является точкой разрыва второго рода для этой функции.

Из определения следует, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполняется хотя бы одно из условий:

(предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a слева, равен плюс или минус бесконечности)
(предел функции при значении аргумента, стремящимся к некоторому значению a справа, равен плюс или минус бесконечности).

При этом функция f(x) может быть вообще не определена соответственно при x ≥ a и x ≤ a.

Замечание:

символом обозначается стремление x к a справа, причём x остаётся больше a;
символом обозначается стремление x к a слева, причём x остаётся меньше a.

Из сказанного следует, что вертикальные асимптоты графика функции можно искать не только в точках разрыва, но и на границах области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет.

Пример 1. График функции y=lnx имеет вертикальную асимптоту x = 0 (т.е. совпадающую с осью Oy) на границе области определения, так как предел функции при стремлении икса к нулю справа равен минус бесконечности:

(рис. сверху).

Пример 2. Найти асимптоты графика функции .

Пример 3. Найти асимптоты графика функции

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Первое, что нужно узнать о горизонтальных асимптотах: они параллельны оси Ox.

Если (предел функции при стремлении аргумента к плюс или минус бесконечности равен некоторому значению b), то y = b – горизонтальная асимптота кривой y = f(x) (правая при иксе, стремящимся к плюс бесконечности, левая при иксе, стремящимся к минус бесконечности, и двусторонняя, если пределы при стремлении икса к плюс или минус бесконечности равны).

Пример 5. График функции

при a > 1 имеет левую горизонтальную асимпототу y = 0 (т.е. совпадающую с осью Ox), так как предел функции при стремлении “икса” к минус бесконечности равен нулю:

Правой горизонтальной асимптоты у кривой нет, поскольку предел функции при стремлении “икса” к плюс бесконечности равен бесконечности: