Как решать системы уравнений

Содержание

Системы уравнений: определение, виды, примеры решения, что это такое

Как решать системы уравнений

Статья знакомит с таким понятием, как определение системы уравнений и ее решением. Будут рассмотрены часто встречающиеся случаи решений систем. Приведенные примеры помогут подробно пояснить решение.

Определение системы уравнений

Чтобы перейти к определению системы уравнений, необходимо обратить внимание на два момента: вид записи и ее смысл. Чтобы понять это, нужно подробно остановиться на каждом из видов, тогда сможем прийти к определению систем уравнений.

Например, возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5, после чего объединим фигурной скобкой такого плана:

2·x+y=-3,x=5.

Уравнения, объединенные фигурной скобкой, считаются записями систем уравнений. Они задают множества решений уравнений данной системы. Каждое решение должно являться решением всех заданных уравнений.

Другими словами это означает, что любые решения первого уравнения будут решениями всех уравнений, объединенных системой.

Определение 1

Системы уравнений – это некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой, имеющих множество решений уравнений, которые одновременно являются решениями для всей системы.

Основные виды систем уравнений

Видов уравнений достаточно много, как систем уравнений. Для того, чтобы было удобно решать и изучать их, подразделяют на группы по определенным характеристикам. Это поможет в рассмотрении систем уравнений отдельных видов.

Для начала уравнения классифицируются по количеству уравнений. Если уравнение одно, то оно является обычным уравнением, если их более, тогда имеем дело с системой, состоящей из двух или более уравнений.

Другая классификация затрагивает число переменных. Когда количество переменных 1, говорят, что имеем дело с системой уравнений с одной неизвестной, когда 2 – с двумя переменными. Рассмотрим пример

x+y=5,2·x-3·y=1

Очевидно, что система уравнений включает в себя две переменные х и у.

При записи таких уравнений считается число всех переменных, имеющихся в записи. Их наличие в каждом уравнении необязательно. Хотя бы одно уравнение должно иметь одну переменную. Рассмотрим пример системы уравнений

2x=11,x-3·z2=0,27·x+y-z=-3

Данная система имеет 3 переменные х, у, z. Первое уравнение имеет явный х и неявные у и z. Неявные переменные – это переменные, имеющие 0 в коэффициенте. Второе уравнение имеет х и z, а у неявная переменная. Иначе это можно записать таким образом

2x+0·y+0·z=11

А другое уравнение x+0·y−3·z=0.

Третья классификация уравнений – это вид. В школе проходят простые уравнения и системы уравнений, начиная с систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Имеется в виду, что система включает в себя 2 линейных уравнения. Для примера рассмотрим

2·x-y=1,x+2·y=-1и -3·x+y=0.5,x+223·y=0

Это основные простейшие линейные уравнения. Далее можно столкнуться с системами, содержащими 3 и более неизвестных.

В 9 классе решают уравнения с двумя переменными и нелинейные. В целых уравнениях повышается степень для увеличения сложности. Такие системы называют системами нелинейных уравнений с определенным количеством уравнений и неизвестных. Рассмотрим примеры таких систем

x2-4·x·y=1,x-y=2 и x=y3x·y=-5

Обе системы с двумя переменными и обе являются нелинейными.

При решении можно встретить дробно-рациональные уравнения. Например

x+y=3,1x+1y=25

Могут называть просто системой уравнений без уточнения, каких именно. Редко уточняют сам вид системы.

Опиши задание

Старшие классы переходят к изучению иррациональных, тригонометрических и показательных уравнений. Например,

x+y-x·y=5,2·x·y=3, x+y=5·π2,sin x+cos 2y=-1,y-log3x=1,xy=312.

Высшие учебные заведения изучают и исследуют решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Левая часть таких уравнений содержит многочлены с первой степенью, а правая – некоторые числа. Отличие от школьных в том, что количество переменных и количество уравнений может быть произвольным, чаще всего несовпадающим.

Решение систем уравнений

Определение 2

Решение системы уравнений с двумя переменными – это пара переменных, которая при подстановке обращает каждое уравнение в верное числовое неравенство, то есть является решением для каждого уравнения данной системы.

К примеру, пара значений х=5 и у=2 являются решением системы уравнений x+y=7,x-y=3. Потому как при подстановке уравнения обращаются в верные числовые неравенства 5+2=7 и 5−2=3. Если подставить пару х=3 и у=0, тогда система не будет решена, так как подстановка не даст верное уравнение, а именно, мы получим 3+0=7.

Сформулируем определение для систем, содержащих одну и более переменных.

Определение 3

Решение системы уравнений с одной переменной – это значение переменной, которая является корнем уравнений системы, значит, все уравнения будут обращены в верные числовые равенства.

Рассмотрим на примере системы уравнений с одной переменной t

t2=4,5·(t+2)=0

Число -2 – решение уравнения, так как  (−2)·2=4, и 5·(−2+2)=0 являются верными числовыми равенствами. При t=1 система не решена, так как при подстановке получим два неверных равенства 12=4 и 5·(1+2)=0.

Определение 4

Решение системы с тремя и более переменными называют тройку, четверку и далее значений соответственно, которые обращают все уравнения системы в верные равенства.

Если имеем значения переменных х=1, у=2, z=0, то подставив их в систему уравнений 2·x=2,5·y=10,x+y+z=3, получим 2·1=2, 5·2=10 и 1+2+0=3. Значит, эти числовые неравенства верные. А значения (1, 0, 5) не будут решением, так как, подставив значения, второе из них будет неверное, как и третье: 5·0=10, 1+0+5=3.

Системы уравнений могут не иметь решений вовсе или иметь бесконечное множество. В этом можно убедиться при углубленном изучении данной тематики. Можно прийти к выводу, что системы уравнений – это пересечение множеств решений всех ее уравнений. Раскроем несколько определений:

Определение 5

Несовместной называют систему уравнений, когда она не имеет решений, в противном случае ее называют совместной.

Определение 6

Неопределенной называют систему, когда она имеет бесконечное множество решений, а определенной при конечном числе решений либо при их отсутствии.

Такие термины редко применяются в школе, так как рассчитаны для программ высших учебных заведений. Знакомство с равносильными системами углубит имеющиеся знания по решению систем уравнений.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/sistemy-uravnenij-nachalnye-svedenija/

Система уравнений. Подробная теория с примерами

Как решать системы уравнений

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Для чего нужно уметь решать системы уравнений? Где они они могут пригодиться?

Все, что нужно знать о решении системы уравнений – в этой статье.

Помни, твоя цель – хорошо сдать ОГЭ или ЕГЭ и поступить в институт твоей мечты. 

Let's go… (Поехали!) 

Система уравнений и методы ее решения Краткое изложение раздела и основные формулы

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться, такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Метод подстановки

Это самый простой метод, но зачастую – самый трудоемкий.

Идея проста – нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной.

Затем точно так же выражаем и подставляем другую переменную и т.д., пока не получим уравнение с одной переменной.

После его решения и нахождения одной из переменных – последовательно возвращаемся к ранее выраженным, подставляя найденные значения.

Непонятно?

Давай рассмотрим на примере

Пример 1

Из второго уравнения очень просто выразить  :

Теперь подставим то, что получилось вместо   в первое уравнение:

Мы получили уравнение с одной неизвестной, которое очень просто решить:

А теперь вернемся к выраженному   и подставим в него полученное значение  :

 .

Итак,

Ответ:  

Ответ, кстати, принято записывать как координаты, то есть в таком виде:  .

В случае трех неизвестных:  , и так далее.

То есть ответ в нашем примере запишется так:

Ответ:  

Попробуй сам решить несколько примеров методом подстановки:

Пример 2

1) Здесь проще всего выразить   из второго уравнения неравенства –

 , а затем подставить в первое.

Ответ:  

Пример 3

Выражаем   из второго уравнения и подставляем в первое.

Ответ:  

Пример 4

Здесь лучше выразить   из первого уравнения:

 , а затем уже подставлять во второе.

Ответ:  

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки.

Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера.

Пример 5

Для этого сперва выразим   в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно  ):

Видно, что графики пересекаются в точке с координатами  .

Графический метод – самый неточный.

Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида  ), графиками которых являются прямые.

Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод (лучше использовать его только для иллюстраций).

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

То есть:

(но ни в коем случае не наоборот:  )

Действительно, мы ведь имеем право прибавить к обеим частям уравнения одно и то же число, например, прибавим к первому уравнению число  :

Но раз  , в правой части можем заменить   на  :

 .

Пример 6

Сложим эти уравнения (левые части друг с другом, и правые – тоже друг с другом):

 .

Вот как!   просто уничтожился в результате сложения.

Скажу сразу, это и была цель всего действия: складываем уравнения только тогда, когда при этом получим более простое уравнение.

Остается теперь только подставить в любое уравнение вместо   число  :

Ответ:  

Пример 7

Очевидно, здесь сложение ничего не даст.

Придется решать другим методом?

Нет!

Иначе метод сложения был бы полезен слишком редко. Мы ведь можем умножать любое уравнение на любое ненулевое число? 

Так давай умножим первое уравнение на такое число, чтобы потом при сложении какая-то переменная исчезла.

Лучше всего умножить на  :

Теперь можно складывать:

Теперь подставим   в первое уравнение системы:

Ответ:  

Теперь порешай сам (методом сложения):

Пример 8

1. На что здесь надо умножить, чтобы коэффициенты при x или y были противоположными?

Хм….

Как из   получить   или из   получить  ?

Умножать на дробное число?

Слишком громоздко получится.

Но ведь можно умножить оба уравнения! Например, первое на  , второе на  :

Теперь, сложив уравнения, мы можем легко найти  .

Подставляем в любое из уравнений и находим  .

Ответ: .

Пример 9

2. Решать нужно аналогично первому примеру – сначала нужно умножить первое уравнение на  , а второе на  , и сложить.

Ответ:  .

3. Первое умножаем на  , а второе на   и складываем.

Ответ:  .

Пример 10

4. Умножать можно и на дроби, то есть делить.

Умножим первое уравнение на  , а второе на  :

Теперь сложим уравнения:

Подставив в первое уравнение, найдем  :

Ответ:  

Тренировка без подсказок

Теперь попробуй сам определить наиболее рациональный способ решения, а затем проверь ответы. Подсказок уже не будет!

Примеры 11-16

Как видишь, система уравнений – базовая, но не самая сложная тема!

Используй методы, описанные в этой статье, и ты без труда справишься с решением систем.

Краткое изложение раздела и основные формулы

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных:

Методы решения систем уравнений:

1. Решение методом подстановки

Нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной.

Повторять подобную процедуру пока не будут найдены все переменные.

2. Решение графическим методом

Если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Графический метод – самый неточный.

Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида  ), графиками которых являются прямые.

Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то не рекомендуется использовать графический метод (только для иллюстраций).

3. Решение методом сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

То есть:

Но ни в коем случае не наоборот:

Теперь тебе слово… 

Мы постарались объяснить что такое системы уравнений и как их решать.

Теперь хотелось бы послушать тебя…

Как тебе статья?

Получается ли у тебя решать системы уравнений?

У тебя есть вопросы? Предложения?

Источник: https://youclever.org/book/sistemy-uravnenij-1

Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений

Как решать системы уравнений

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.

-уроки на канале Ёжику Понятно.

страницы:

Линейные уравнения

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Примеры линейных уравнений:

Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.

Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Для того, чтобы решить линейное уравнение, необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .

Примеры решения линейных уравнений:

  1. 2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8

Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.

Попробуем преобразовать его к виду a x = b :

Для начала раскроем скобки:

2 x + 1 = 4 x − 6 + 8

В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:

2 x − 4 x = 2 − 1

− 2 x = 1

Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :

− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5

Ответ: x = − 0,5

Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:

x 2 + 3 x − 8 = x − 1

Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)

Примеры:

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 4

2 x − 2 x = − 4 + 4

0 = 0

И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.

Ответ: x ∈ ( − ∞ ;   + ∞ )

Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:

2 x − 4 = 2 x − 16

2 x − 2 x = − 16 + 4

0 = − 12

В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.

Ответ: x ∈ ∅

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

  1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
  2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
  3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
  4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
  5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
  6. Если D 0 – будет два различных корня:

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

    Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

    a = − 1, b = 4, c = − 4

    D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

    D = 0 – будет один корень:

    x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

    Ответ: x = 2

    a = 2, b = − 7, c = 10

    D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

    D 0 – будет два различных корня.

    x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3

    [ x 1 = 2 x 2 = − 3

    1. Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.

    Корни, полученные на предыдущем шаге:

    [ x 1 = 2 x 2 = − 3

    ОДЗ: x ≠ 2

    Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.

    Ответ: x = − 3.

    Системы уравнений

    Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

    Пример системы уравнений

    { x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

    Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.

    Существует два метода решений систем линейных уравнений:

    1. Метод подстановки.
    2. Метод сложения.

    Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:

    1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
    2. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
    3. Решить уравнение с одной неизвестной.
    4. Найти оставшуюся неизвестную.

    Пример:

    Решить систему уравнений методом подстановки

    { x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

    Решение:

    1. Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.

    { x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

    1. Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.

    { x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4

    { x = 8 − 2 y 3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

    1. Решить уравнение с одной неизвестной.

    3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4

    24 − 6 y − y = − 4

    − 7 y = − 4 − 24

    − 7 y = − 28

    y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

    y = 4

    1. Найти оставшуюся неизвестную.

    y = 4

    x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0

    Ответ можно записать одним из трех способов:

    Ответ:

    1. x = 0, y = 4
    2. { x = 0 y = 4
    3. ( 0 ;   4 )

    Решение системы уравнений методом сложения.

    Метод сложения основывается на следующем свойстве:

    если

    { a = b c = d

    то

    ( a + c ) = ( b + d )

    Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.

    Пример:

    Решить систему уравнений методом сложения

    { x + 2 y = 8 3 x − y = − 4

    Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты.

    Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) .

    Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .

    { x + 2 y = 8   |   ⋅ ( − 3 ) 3 x − y = − 4

    { ( − 3 ) ⋅ ( x + 2 y ) = ( − 3 ) ⋅ 8 3 x − y = − 4

    { − 3 x − 6 y = − 24 3 x − y = − 4

    Теперь, когда перед переменной  в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.

    { − 3 x − 6 y = − 24 3 x − y = − 4 ⊕

    ( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )

    − 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4

    − 7 y = − 28

    y = − 28 − 7 = 28 7 = 4

    Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.

    x + 2 y = 8

    x + 2 ⋅ 4 = 8

    x + 8 = 8

    x = 8 − 8 = 0

    Ответ можно записать одним из трех способов:

    Ответ:

    1. x = 0, y = 4
    2. { x = 0 y = 4
    3. ( 0 ;   4 )

    Задание №9 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения

    Скачать домашнее задание к уроку 4.

    Источник: https://epmat.ru/modul-algebra/urok-4-uravneniya-sistemy-uravnenij/

    Способы решения систем уравнений с двумя неизвестными

    Как решать системы уравнений

    Елена Репина 2015-10-09 2019-08-08

    Системы линейных уравнений. Метод подстановки 

    + показать

    • Выражаем одну переменную через другую.

    • Выраженную из одного уравнения переменную подставляем во второе уравнение. Получаем уравнение относительно одной переменной, которое и решаем.

    • Опираясь на найденное значение одной переменной, находим значение второй, подставляя в оставшееся уравнение.

    Решить систему уравнений: 

    Решение: + показать

    Из первого уравнения системы выражаем через и подставляем во второе уравнение:

    Вторая строка системы – уравнение с одной переменной. Решаем его и найденное значение подставляем в первое уравнение для нахождения .

    Ответ:

    Системы линейных уравнений. Метод сложения 

    + показать

    • Добиваемся, путем равносильных преобразований, наличия равных (или противоположных) коэффициентов при одной из неизвестных переменных в уравнениях.

    • Вычитаем (или складываем) полученные уравнения с целью выхода на уравнение с одной неизвестной. 

    • Решаем  полученное уравнение с одной неизвестной.

    • Найденное значение одной переменной подставляем в любое из уравнений системы, находим значение второй.

    1. Решить систему уравнений: 

    Решение: + показать

    Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

    Ответ:  

    2. Решить систему уравнений: 

    Решение: + показать

    Прежде домножаем первую строку системы , вторую строку системы – на . Вычитаем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

    Ответ:  

    Системы уравнений, сводящихся к линейным

    1. Решить систему уравнений: 

    Решение: + показать

    Можно сделать замену и Тогда выходим на систему линейных уравнений:

    Систему можно решить методом сложения, например.

    Но приведем решение без замены.

    Умножим первое уравнение системы на , второе – на и произведем сложение полученных уравнений, оставим при этом в системе, например, первое уравнение исходной системы.

    Ответ:  

    2. Решить систему уравнений: 

    Решение: + показать

    Можно сделать замену и выйти на систему линейных уравнений:

    Приведем решение без замены.

    Выражаем из второго уравнения системы и подставляем в первое.

    Ответ:  

    Нелинейные системы уравнений. Метод подстановки

    Решить систему уравнений: 

    Решение: + показать

    Выражаем из первого уравнения системы и подставляем во второе.

    Ответ:  

    Нелинейные системы уравнений. Метод сложения

    Решить систему уравнений: 

    Решение: + показать

    Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

    Ответ:  

    Нелинейные системы уравнений. Метод почленного умножения (деления)

    1. Решить систему уравнений: 

    Решение: + показать

    Производим деление первой строки на вторую, оставляем в системе вторую строку без изменений.

    Ответ:  

    Симметрические системы. Метод введения переменной

    Симметрическая система – система, все уравнения которой симметрические. Симметрическое уравнение от двух переменных и – уравнение, которое не изменяется при замене на и на .

    Для таких систем удобно использовать замену  

    Решить систему уравнений: 

    Решение: + показать

    При замене  приходим к следующей системе

     которую будем решать способом подстановки:

    Производим обратную замену:

    Ответ:

    Системы однородных уравнений и приводящиеся к ним системы

    Однородным уравнением с двумя неизвестными  будем называть уравнение вида

    1. Решить систему уравнений: 

    Решение: + показать

    Первое уравнение системы – однородное. Производим деление первого уравнения системы на (можно и на или ). Заметим, опасности деления на ноль нет.

    Первое уравнение системы – квадратное относительно .

    Ответ:

    2. Решить систему уравнений: 

    Решение: + показать

    Применим прежде к системе метод сложения. После чего выйдем на однородное уравнение.

    Ответ:

    Графический метод решения систем уравнений

    1. Решите графически систему уравнений: 

    Решение: + показать

    Выразим в обеих строках системы через :

    Первое уравнение системы задает прямую, второе – гиперболу. Строим графики в одной системе координат, находим координаты точек пересечения графиков.

    Ответ: 

    2. Решите графически систему уравнений: 

    Решение: + показать

    Первая строка системы задает окружность с центром в точке радиусом .  Вторая строка системы задает прямую .

    Находим координаты точек пересечения графиков:

    Ответ: 

    3. Решите графически систему уравнений: 

    Решение: + показать

    Первая строка системы задает параболу с ветвями вверх с вершиной в точке .

    Так как , то из второй строки системы при условии, что То есть вторая строка системы задает прямую с выколотой точкой 

    Ответ: 

    Задания для самостоятельной работы

    + показать

    Решите системы уравнений:

    1.

    Ответ:

    2. 

    Ответ:

    3. 

    Ответ:

    4. 

    Ответ:

    5. 

    Ответ:

    6. 

    Ответ:

    7. 

    Ответ:

    8. 

    Ответ:

    Решите графически системы уравнений:

    9. 

    Ответ:

    10. 

    Ответ:

    egeMax |

    Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

    Печать страницы

    Источник: https://egemaximum.ru/sposoby-resheniya-sistem-uravnenij-s-dvumya-neizvestnymi/

    Системы с нелинейными уравнениями

    Как решать системы уравнений

    Справочник по математикеАлгебраСистемы уравнений

          Определение 1. Пусть   A   – некоторое множество пар чисел   (x ;  y) .

      Говорят, что на множестве   A   задана числовая функция   z   от двух переменных   x   и   y ,   если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества   A   ставится в соответствие некоторое число.

          Задание числовой функции   z   от двух переменных   x   и   y   часто обозначают так:

    причем в записи (1) числа   x   и   y   называют аргументами функции, а число   z   – значением функции, соответствующим паре аргументов   (x ; y) .

          Определение 2. Нелинейным уравнением с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение вида

    где   f (x , y)   – любая функция, отличная от функции

    f (x , y) = ax +by + c ,

    где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

          Определение 3. Решением уравнения (2) называют пару чисел   (x ; y) ,   для которых формула (2) является верным равенством.

          Пример 1. Решить уравнение

    x2 – 4xy + 6y2 –– 12 y +18 = 0 .(3)

          Решение. Преобразуем левую часть уравнения (3):

    x2 – 4xy + 6y2 – 12 y +18 =
    = (x2 – 4xy + 4y2) +
    + (2y2– 12y +18) =
    = (x – 2y)2 + 2(y – 3)2 .

          Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

    (x – 2y)2 + 2(y – 3)2 = 0 .(4)

          Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные   x   и   y   удовлетворяют системе уравнений

    решением которой служит пара чисел   (6 ; 3) .

          Ответ:   (6 ; 3)

          Пример 2. Решить уравнение

          Решение. Из неравенства

    вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

          Ответ: Решений нет.

          Пример 3. Решить уравнение

          Решение. В соответствии с определением логарифма из формулы (6) получаем

          Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

    (1 + y ; y) ,

    где   y   – любое число.

    Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

          Определение 4. Решением системы уравнений

    называют пару чисел   (x ; y) ,   при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

          Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

    где   a ,  b ,  c   – заданные числа, а   g(x , y)   – функция двух переменных   x   и   y .  

          Пример 4. Решить систему уравнений

    (7)

          Решение. Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное   y   через неизвестное   x   и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

          Решая уравнение

    x2 – 8x – 9 = 0 ,

    находим корни

    x1 = – 1 ,   x2 = 9 .

          Следовательно,

    y1 = 8 – x1 = 9 ,  
    y2 = 8 – x2 = – 1 .

          Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

    и    

    Ответ:   (– 1 ; 9) ,   (9 ; – 1)

    Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

          Определение 5. Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными   x   и   y   называют уравнение вида

    ax2 + bxy + cy2 = 0 .

    где   a ,  b ,  c   – заданные числа.

          Пример 5. Решить уравнение

          Решение. Для каждого значения   y   рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного   x .   Тогда дискриминант   D   квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

    D = (8y)2 – 60y2 = 4y2 ,

    откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

          Ответ. Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

    ( y ; y)   или    

    где   y   – любое число.

          Следствие. Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

    Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

          Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

    где   a ,  b ,  c   – заданные числа, а   g(x , y)   – функция двух переменных   x   и   y .

          Пример 6. Решить систему уравнений

    (9)

          Решение. Решим однородное уравнение

    3×2 + 2xy – y2 = 0 ,

    рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :

    .

          В случае, когда   x = – y ,   из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

    4y2 = 16 ,

    корнями которого служат числа   y1 = 2 ,   y2 = – 2 .  Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2) .

          В случае, когда

    ,

    из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

    которое корней не имеет.

    Ответ:   (– 2 ; 2) ,   (2 ; – 2)

    Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

          Пример 7. Решить систему уравнений

    (10)

          Решение. Совершим над системой (10) следующие преобразования:

    • второе уравнение системы оставим без изменений;
    • к первому уравнению, умноженному на   5 ,   прибавим второе уравнение, умноженное на   3 ,   и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

          В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

    (11)

         Решим однородное уравнение

    3×2 + 17xy + 10y2 = 0 ,

    рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного   x :

    .

          В случае, когда   x = – 5y ,   из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

    5y2 = – 20 ,

    которое корней не имеет.

          В случае, когда

    ,

    из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

    ,

    корнями которого служат числа   y1 = 3 ,   y2 = – 3 .  Находя для каждого из этих значений   y   соответствующее ему значение   x ,   получаем два решения системы:   (– 2 ; 3) ,   (2 ; – 3) .

    Ответ:   (– 2 ; 3) ,   (2 ; – 3)

    Примеры решения систем уравнений других видов

          Пример 8. Решить систему уравнений (МФТИ)

    (12)

          Решение. Введем новые неизвестные   u   и   v ,   которые выражаются через   x   и   y   по формулам:

    (13)

          Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные   x   и   y   через   u   и   v .   Из системы (13) следует, что

    (14)

          Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную   x .   С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

    • первое уравнение системы оставим без изменений;
    • из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

          В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

    из которой находим

    (15)

          Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

    (16)

          У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   u   через неизвестное   v   и подставить это выражение во второе уравнение системы:

          Решая уравнение

    2v2 + 3v – 14 = 0 ,

    находим корни

          Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

          Из формул (13) вытекает, что   ,  поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае   u2 = 5,   v2 = 2   из формул (15) находим значения   x   и   y :

    x = 13,   y = – 3 .

          Ответ:   (13 ; – 3)

          Определение 6. Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел   (x ; y ; z) ,   при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

          Пример 9. Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

    (17)

          Решение. У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное   z   через неизвестные   x   и   y   и подставить это выражение во второе уравнение системы:

    (18)

          Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

          Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае   x = 4,   y = 4 .

          Следовательно,

          Ответ:   (4 ; 4 ; – 4)

          Замечание. Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

          На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Источник: https://www.resolventa.ru/spr/algebra/system1.htm

    Системы уравнений

    Как решать системы уравнений

    • Способ подстановки
    • Способ сравнения
    • Способ сложения или вычитания

    Система уравнений – это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные подразумевают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

    x – 4y = 2
    3x – 2y = 16

    Решить систему уравнений – это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

    Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

    Способ подстановки

    Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

    Рассмотрим решение системы уравнений:

    x – 4y = 2
    3x – 2y = 16

    Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:

    x – 4y = 2

    x = 2 + 4y

    Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

    3x – 2y = 16
    3(2 + 4y) – 2y = 16

    Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

    3(2 + 4y) – 2y = 16
    6 + 12y – 2y = 16
    6 + 10y = 16
    10y = 16 – 6
    10y = 10
     y = 10 : 10
     y = 1

    Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:

    x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6

    Ответ: x = 6, y = 1.

    Способ сравнения

    Способ сравнения – это частный случай подстановки.

    Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу.

    Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

    Например, для решение системы:

    x – 4y = 2
    3x – 2y = 16

    найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот – найти, чему равен x):

    x – 4y = 23x – 2y = 16
    -4y = 2 – x-2y = 16 – 3x
    y = (2 – x) : – 4y = (16 – 3x) : -2

    Составляем из полученных выражений уравнение:

    Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:

    2 – x · (-4) = 16 – 3x · (-4)
    -4-2
    2 – x = 32 – 6x
    2 – x + 6x = 32 – 2
    5x = 30
    x = 30 : 5
    x = 6

    Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:

    x – 4y = 23x – 2y = 16
    6 – 4y = 23 · 6 – 2y = 16
    -4y = 2 – 6-2y = 16 – 18
    -4y = -4-2y = -2
     y = 1 y = 1

    Ответ: x = 6, y = 1.

    Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

    Рассмотрим систему:

    x – 4y = 2
    3x – 2y = 16

    Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

    (3x – 2y) · -2 = 16 · -2

    -6x + 4y = -32

    Получим:

    x – 4y = 2
    -6x + 4y = -32

    Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

    +x  –  4y = 2
     -6x + 4y = -32
     -5x         = -30

    Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.

    Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

    Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:

    (x – 4y) · 3 = 2 · 3

    3x – 12y = 6

    Получим:

    3x – 12y = 6
    3x – 2y = 16

    Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

    3x  –  12y = 6
      3x  –   2y = 16
              -10y = -10

    Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:

    3x – 2y = 16
    3x – 2 · 1 = 16
    3x – 2 = 16
    3x = 16 + 2
    3x = 18
    x = 18 : 3
    x = 6

    Ответ: x = 6, y = 1.

    Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

    Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.

    Источник: https://naobumium.info/algebra/sistema_uravnenii.php

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.